Задачи по стереометрии с решениями

В ЕГЭ профильного уровня геометрическим телам и объектам в пространстве линиям, плоскостям, двугранным углам и пр. Они могут различаться по трудности, но по набору рассматриваемых объектов практически неотличимы.

В обоих есть тела вращения и многогранники, сечения и проекции, требования определить размеры отдельных элементов - ребер, углов, радиусов оснований и т. Только задание 14 чуть комплекснее, то есть содержит больше задач на сочетание различных тел, чем предыдущее по номеру.

Поэтому, если Вы еще не занимались заданиями по стереометрии, то настоятельно рекомендую начать со следующих разделов этого сайта. Там более подробно представлены формулы и описаны свойства названных фигур. Таким образом, чтобы не смущал вопрос "Чем сфера отличается от шара? Более строго математическим языком можно сказать так:. Теперь, когда мы разобрались с шаром и сферой, мы понимаем, что понятия объём, сегмент, сектор, слой относятся к шару.

Шаровой сегмент, шаровой сектор, шаровой слой. Понятия площадь, криволинейные треугольники, координаты и т. Существует целая сферическая геометрия, которая изучает геометрические образы находящиеся на сфере так же, как планиметрия - на плоскости. В частности, с понятием сферических координат вы впервые познакомились на географии: Координатная сетка состоит из меридианов и параллелей. Центр, радиус, диаметр отрезок, соединяющий две точки сферы, и проходящий через центр , сечения есть и у шара, и у сферы.

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Сравните "Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность. Большим кругом или большой окружностью называется сечение плоскостью, проходящей через центр. Плоскость, проходящая через некоторую точку шаровой поверхности сферы перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку называется касательной плоскостью.

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания. Прямая, проходящая через точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. Таких прямых через одну точку можно провести бесконечное множество, но все они будут лежать в одной плоскости - в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Поскольку одна плоскость рассекает шар на две части, то на рисунке фактически присутствуют два сегмента, хотя указатель ориентирован на меньший. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса и получается таким образом: На рисунке представлены два сектора.

Задачи чаще решают с тем, к которому отнесен указатель. Параметры второго всегда можно определить вычитанием. Шаровой слой - это часть шара, "вырезанная" двумя параллельными плоскостями. Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра, как оси. Пусть символом R обозначен радиус шара сферы , а в точке О находится её центр. Тогда верны следующие формулы. Шар - предельно симметричное тело. Любой диаметр - ось симметрии.

Любой большой круг - плоскость симметрии. Таким образом, шар имеет бесконечное число осей симметрии и бесконечное число плоскостей симметрии. Поэтому задачи с ним очень легко решать с помощью построения плоских сечений. Выбирай любое удобное и переходи к планиметрической задаче. Многогранник описан около сферы, следовательно, многогранник снаружи, сфера внутри, и все грани многогранника являются касательными плоскостями сферы.

Прямоугольный параллелепипед является 6-тигранником, имеет 3 пары параллельных граней и прямые двугранные углы. У прямоугольного параллелепипела есть центр - точка пересечения диагоналей - и, как минимум, три плоскости симметрии, проходящие через его центр параллельно граням. Совместим центр шара и центр параллелепипеда и построим сечения упомянутыми плоскостями симметрии параллелепипеда. Они же будут и плоскостями симметрии сферы. Одна из этих плоскостей, параллельная основаниям, построена на рисунке в задании.

Вторая представлена на моём рисунке ниже. О третьей подумайте самостоятельно. В каждой их этих плоскостей сечением сферы будет большая окружность, а сечением параллелепипеда - прямоугольник. При построении этого прямоугольника убеждаемся, что касаться окружности его стороны будут тогда и только тогда, когда они равны между собой и равны диаметру окружности, то есть в сечении получится квадрат со стороной 2 R , где R - радиус сферы.

Иначе не будут соблюдены определения плоскостей и прямых касательных к сфере и к окружности. Таким образом, делаем вывод, что из всех прямоугольных параллелепипедов описать вокруг сферы можно только куб.

Из рисунка получаем, что ребро куба равно диаметру сферы. Значит сторона квадрата равна 2. Площадь одной из граней, площадь квадрата, равна 4. Замечания 1 Рисунок в тексте задания бывает не всегда. Иногда составители его туда помещают формально, иногда - в качестве подсказки или намёка к решению. Иногда чертёж при решении задачи действительно необходим, иногда достаточно вспомнить готовую формулу и можно ничего не рисовать.

Примеры решения задач по стереометрии

В любом случае на этапе подготовки к экзамену чертёж нужно делать всегда и самостоятельно, чтобы набить руку. В заданиях этой группы задания с коротким ответом ваших доказательств проверять никто не будет, кроме вас самих! Ведь без ответа на вопрос "Почему так? В этой задаче ответы на все "почему" сводятся к "по построению", "из соображений симметрии", "потому, что в точках касания радиус перпендикулярен касательной прямой".

Конус вписан в шар - конус внутри, сфера снаружи. Вершина конуса находится на сфере, и граница основания конуса окружность проходит по сфере. Таким, образом с поверхностью шара конус имеет общую точку и общую линию. На объёмном рисунке они изображены синим цветом.

Конус имеет ось вращения, которая совпадает с одним из диаметров шара. Построим сечение плоскостью, проходящей через эту ось. В сечении получится большой круг и вписанный в него треугольник. Если радиус основания конуса меньше радиуса шара, то в зависимости от высоты конуса, основание треугольника будет находиться ниже или выше центра шара.

На рисунке сечений это показано красным контуром или зеленым, соответственно. По условию задачи радиус основания конуса равен радиусу шара, значит в нашей задаче основание конуса совпадает с большим кругом шара, а рассматриваемому осевому сечению соответствует положение треугольника ABC на нижнем рисунке. Замечания 1 Если забыты формулы для конуса, их можно повторить, перейдя по ссылке.

Например, здесь в стоящее выше выражение нужно было подставить R 3 , поэтому совершенно бессмысленно было находить R через кубический корень, а затем снова возводить выражение в 3-ю степень. Что и показано в примере. Но если быть еще внимательнее, то сравнивая преобразованную формулу для V кон. Задача обратная к приведенной в Примере 2.

Проводим те же рассуждения, строим те же чертежи и используем те же формулы. Куб вписан в шар - куб внутри, сфера снаружи. Все вершины куба лежат на поверхности шара. У куба есть центр симметрии - точка пересечения диагоналей.

Центр принадлежит 9-ти плоскостям симметрии куба, которые проходят через пары противоположных ребер либо через середины противоположных ребер. Центр шара и центр симметрии вписанного куба совпадают. Поэтому для успешного решения подобных задач нужно просто выбрать одно из сечений плоскостью симметрии куба - то, в котором больше известных величин.

Строим одно из диагональных сечений куба, например, BB 1 D 1 D. Оно является плоскостью симметрии куба. Точка O - центр куба и шара - принадлежит этой плоскости.

Сечением шара будет его большой круг. Дальше задача решается, как в планиметрии. На плоском чертеже подписываем известные из условия значения величин и те, которые определили сами.

Чтобы найти объём куба, нужно знать длину его ребра. Обозначим её за x. Это можно помнить как формулу из учебника или определить по теореме Пифагора из треугольника A 1 B 1 D 1. Треугольник BB 1 D 1 - прямоугольный, так как является сечением куба плоскостью, перпендикулярной его основанию.

Поэтому применим к треугольнику BB 1 D 1 теорему Пифагора. Преобразуем уравнение и решаем его относительно x. Как я уже упоминала, в банке заданий ФИПИ задачи по стереометрии ЕГЭ распределены на две части -задания 8 и На мой взгляд, независимо от уровня трудности задачи к стереометрии надо готовиться не по номеру задания, а по типам фигур. Следующие задачи формально относятся к заданию 8. Но поскольку они продолжают тему шара, то помещены в этом разделе сайта.

Если вы попали по ссылке непосредственно в это место страницы, чтобы повторить нужные формулы и понятия для сферы и шара, прокрутите страницу вверх. Пусть R - радиус второго шара.

Замечания 1 Не торопитесь перемножать числа в дробных выражениях промежуточных вычислений. Может оказаться, что на следующем шаге дробь легче сократить. Задача решается в одно действие. Разумеется теми учениками, которые хорошо знают тему "Подобие фигур". Рекомендую повторить и следующую задачу решить этим способом. Если вы плохо помните тему "Подобие фигур", то задачу можно решить с использованием формул для площади поверхности и объёма шара, как это было показано в решении задачи 5.

Площадь полной поверхности цилиндра S цил. Строим сечение шара плоскостью, проходящей через ось симметрии цилиндра. В сечении получаем прямоугольник и вписанный в него большой круг шара. На плоском чертеже сечения обозначаем R - радиус шара, это например, отрезки OO 1 , OO 2 , OE , соединяющие центр шара с общими точками цилиндра и поверхности шара; r - радиус основания цилиндра, например, отрезок O 1 C ; h - высота цилиндра O 1 O 2.

Если забыты формулы для цилиндра, их можно повторить, перейдя по ссылке. Обо всех замеченных погрешностях: Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем заданного, от данной точки.

Эта точка называется центром шара, а заданное расстояние - его радиусом. Сферой называется замкнутая поверхность, все точки которой находятся на заданном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Заданное расстояние называется её радиусом. Пример 1 Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности. Решение Совместим центр шара и центр параллелепипеда и построим сечения упомянутыми плоскостями симметрии параллелепипеда.

Пример 2 Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен Решение Объём конуса находится по формуле V кон. Подставим R вместо r и h в формулу для объёма конуса. Чтобы определить радиус шара, воспользуемся формулой для его объёма. Ведь именно эта величина дана в условии задачи.

Подставим в эту формулу вместо V шара число 28 и решим уравнение относительно R 3. Задача 1 Конус вписан в шар. Объём конуса равен 6. Задача 3 Куб описан около сферы радиуса 6,5. Если Вы внимательно читали решение примера 1, то уже поняли, что ребро куба равно удвоенному радиусу, то есть диаметру, описанной сферы. Задача 4 Площадь большого круга шара равна 3.

Найдите площадь поверхности шара. Пусть R - радиус шара. Большой круг - сечение, которому принадлежит центр шара, поэтому радиус круга равен радиусу шара. Задача 5 Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Задача 6 Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров, а их объёмы относятся как кубы линейных размеров. Все шары являются подобными фигурами и имеют характерный линейный размер - радиус.

Задача 7 Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности цилиндра равна Шар вписан в цилиндр, следовательно шар внутри, цилиндр снаружи, центр шара лежит на оси симметрии цилиндра. Поверхность шара имеет с цилиндром 2 общие точки и одну общую окружность - "экватор" шара. Пользуясь симметрией шара и прямого кругового цилиндра легко доказать, что все упомянутые отрезки - стороны прямоугольников. Подставим эти величины в формулу площади полной поверхности цилиндра и произведем преобразования для упрощения выражения: Сравниваем с формулой поверхности шара: Таким образом, площадь шара составляет две третьих площади цилиндра: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения временно скрыты.

Они показываются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой.

Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript. А здесь начнем с задач, содержащих шар. Задачи, содержащие сферу и шар. Вспомним еще одно очень похожее определение: Заданное расстояние называется её радиусом Таким образом, чтобы не смущал вопрос "Чем сфера отличается от шара? Более строго математическим языком можно сказать так: Строим диагональное сечение куба.

Похожие документы
Карта сайта
Где не любят кошек

Комментарии
  • Интересные задачи про треугольники.